AMC考点讲解 几何板块你会用托勒密定理吗

在AMC的考试中，几何题型是常常出现的，因此我们在这里给大家分享一个AMC考点托勒密定理，有复习需要的同学赶紧看过来。

托勒密定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。即指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

例如：AD×BC+AB×CD=AC×BD

证明：设ABCD是圆内接四边形。

在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，

而在AB上，∠ADB = ∠ACB。

在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。

因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD相似于△KBC。

因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD；

因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA；

AKxBD=ABxCD且CKxBD=BCxDA

两式相加，得(AK+CK)xBD=ABxCD+BCxDA;但AK+CK=AC，

因此ACxBD=ABCD+BCxDA.即得证

托勒密定理的证明，可以通过在四边形内分别依靠两条对角线构造一对相似三角形的方法加以证明，托勒密定理的逆定理也成立，即：凸四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。此外，托勒密定理还引申出一些推论，例如：在一条线段AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD，这个定理称之为“欧拉定理”，对于解决共线问题很有用处。

在数学竞赛中，有些问题如果你掌握了更高层次的方法，那么再来解决低层次的问题就会很容易。由于AMC这两年题目在新颖性上无法取得太多的突破，因此在内容上开始扩充，甚至加入了一些AMC10的知识点。你没学过也能做，但效率会低很多，因此需要参赛者有一定超前学习的能力。因此，AMC复习要出高分，挑战性越来越大。想系统化的复习吗？赶紧来橡沐。

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