AP统计学之概率论的三种概率分布讲解 帮你避免5月考试火葬场

在AP统计学考试中经常会出现概率题，很多同学在做这些概率题时常常会自我怀疑，那么今天给大家讲讲AP统计学之概率论的三种概率分布，希望大家都能够在有限的时间里，明白这些知识点，在明年5月的考试中考出好成绩。【AP统计学学什么？由这4大部分组成】

伯努利分布

我们先来从伯努利实验谈起。如果一次实验只有2种结果：成功或者失败，每次实验成功的概率都是p，且每次实验的结果之间互相不影响，我们就称作这种实验为伯努利实验。举个例子，一个什么都不会的学员去做五选一的选择题就属于伯努利实验。因为猜对答案就相当于成功，成功概率为1/5. 并且第一题是否蒙对和第二题是否蒙对互相不影响。那么什么叫做分布呢？用大家熟知的直方图来去表示一下。假设一道题目做对得1分，做错得0分。就可以画出一个这样的直方图，横坐标为得分，纵坐标为得分对应的概率。这个就叫做分布

二项分布

刚才我们说到了伯努利实验，那么二项分布其实就是重复多次伯努利实验之后的结果分布了。我们依旧以做单选题来去举例子，假设一套卷子有100道题，那么猜对100道题的概率就是 如果猜对2道题呢？是么？显然不是，因为100道题中我可以猜对第一题第二题或者第二题第四题。那么到底有多少种100道题中猜对2道的情况呢？一共有种（这个叫做binomial coefficient，今天的重点不是这个，因此我们不过多做讨论）。我们需要把刚才的在乘以种可能才可以得到答案。所以二项分布的概率见下图：

再给大家举个例子。假设小明同学参加考试，10道题全都不会做。那么他究竟能猜对几道题在考试成绩下来之前我们不得而知。因此统计学上把他能够做对的题目数量也称作随机变量。通过我们刚才的概率计算下来，小明同学可能得到的分数已经对应的概率分布见下图：

正态分布

 正态分布（normal distribution），也称作“常态分布”，是一种极为常见的连续性概率分布，也是一种极为常见常用的概率分布模型。如果随机变量X服从正态分布均值为μ，标准差为σ，那么随机变量X的概率密度曲线将会呈现钟形（中间高两边低），如下图：

正态与常态两种称呼都不太能够直观的显示出这个分布的特点，不如从当中各取一个字称作“正常分布”就很白话了，这正是正态分布的本质含义。因为在生活当中，它太常见了。有非常多的数据分布形状会接近正态分布的钟形（即中间高，两边低的对称形态）。比如：正常人群的身高、体重、考试成绩等等。

到现在一定会有同学纳闷：明明刚才说的成绩分布服从二项分布，怎么到了这一段就变成成绩服从正态分布了？这要从一个装置说起：高尔顿钉版

18世纪英国著名科学家弗朗西斯·高尔顿发明了一个机械装置，可以很好的展现正态分布产生的过程（如下图）：

当小球撞到柱子的时候，会随机的选择向左走还是向右走，碰到下一个柱子继续随机选择左右。有多少层柱子就相当于多少小球随机进行了多少次选择，连续的执行了多次独立重复的实验。这就相当于重复多次伯努利实验产生的二项分布了。当小球的数量非常多的时候，人们惊奇的发现这个二项分布的形状简直跟正态分布一模一样。所以我们继续以考试为例，如果都是选择题，大家什么都不会全靠蒙，那么考试成绩一定会呈现一种正态分布。然而一定有同学会问：大家考试毕竟是靠真本事答题的，肯定不可能全部都蒙。那么这样成绩也会呈现正态分布吗？而且小球随机向左向右走的概率都是0.5，但是蒙五选一选择题时，蒙对的概率是0.2、四选一的选择题概率是0.25呀？答案是：大致是这样的。因为同一道题，有的同学觉得简单，就一定会有同学觉得难。那放眼全部考生，就会涉及到一个概率问题了，比如说有60%的同学觉得简单，40%的同学觉得难。

假设觉得简单的同学一定能够做对题，统计学上就会认为这道题的正确率大致为60%，也就相当于每次实验成功（做对题）的概率为0.6，连续的执行了多次独立重复的实验（做了很多道题）。但如果考生人数足够多，最后的分布形状也会近似于一个正态分布。因为统计学认为如果样本量（考生人数）满足一个叫做large count condition的条件的话，那么样本将会近似于一个正态分布。large count condition是由前人的经验得来的，不存在证明的过程。先来看一下这个定义：

这个定义说到：如果样本量n非常大，那么只要二项分布实验成功的概率p满足np与n（1-p）都大于等于10，这个二项分布的分布形状就会近似于正态分布了。当然，如果题目过于简单，比如某题99.999%的考生都能够做对的话，就会使得np或者n（1-p）中某一项不够10。那这时候就需要一些人为的干预手段（例如curve），来去进行调整了。

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